Giải bài 1, 2, 8, 9, 14 trang 80 81 82 SGK Giải Tích 12 nâng cao

Cùng Du Học Mỹ Âu VN tiến hành việc giải các bài tập số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 và 14 trang 80, 81 82 trong chương 3 Phương pháp tọa độ trong ko gian, nội dung bài Hệ tọa độ trong ko gian, Hi vọng qua tài liệu, các em sẽ nắm được cách áp dụng vào làm các bài tập gần giống.

Chúng mình sẽ san sớt các bước giải bài tập từ trang 80 đến trang 82 1 cách cụ thể nhất, trong công đoạn tham khảo cách làm, nếu có vấn đề gì chưa hiểu, các bạn hãy đặt câu hỏi ngay dưới bài viết để chúng ta cùng bàn bạc nha, không những thế, đừng quên san sớt để các bạn của mình biết được tài liệu hay này nha các bạn.

Gicửa ải bài tập SGK Hình học 12 tăng lên: Hệ tọa độ trong ko gian.

Gicửa ải bài 1 trang 80 sgk hình học 12 tăng lên

a) Ta có $overrightarrow u = overrightarrow i – 2overrightarrow j $ nên $overrightarrow u = (1; – 2;0).$
$overrightarrow v = 3overrightarrow i + 5(overrightarrow j – overrightarrow k )$ $ = 3overrightarrow i + 5overrightarrow j – 5overrightarrow k $ nên $overrightarrow v = (3;5; – 5).$
$overrightarrow w = 2overrightarrow i – overrightarrow k + 3overrightarrow j $ $ = 2overrightarrow i + 3overrightarrow j – overrightarrow k $ nên $overrightarrow w = (2;3; – 1).$
b) Ta có $cos left( {overrightarrow v ,overrightarrow i } right) = frac{{overrightarrow v .overrightarrow i }}{overrightarrow v }.$
Nhưng mà $overrightarrow v = (3;5; – 5)$, $overrightarrow i = (1;0;0)$ nên $overrightarrow v .overrightarrow i = 3$, $|overrightarrow v | = sqrt {9 + 25 + 25} = sqrt {59} $, $|vec i| = 1.$ Suy ra $cos (overrightarrow v ,overrightarrow i ) = frac{3}{{sqrt {59} }}.$
Gần giống, ta có $cos (overrightarrow v ,overrightarrow j ) = frac{5}{{sqrt {59} }}$; $cos (overrightarrow v ,overrightarrow k ) = frac{{ – 5}}{{sqrt {59} }}.$
c) Theo câu a, ta có $overrightarrow u = (1; – 2;0)$; $overrightarrow v = (3;5; – 5)$; $overrightarrow w = (2;3; – 1)$ nên $overrightarrow u .overrightarrow v = – 7$; $overrightarrow u .overrightarrow w = – 4$; $overrightarrow v .overrightarrow w = 26.$

Gicửa ải bài 2 trang 80 sgk hình học 12 tăng lên

Giả sử $overrightarrow u = (a;b;c)$, ta có: ${cos ^2}(vec u,vec i)$ $ = {left( {frac{{overrightarrow u .overrightarrow i }}{}} right)^2}$ $ = frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.$
Gần giống, ${cos ^2}(vec u,vec j) = frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$; ${cos ^2}(overrightarrow u ,overrightarrow k ) = frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.$
Suy ra: ${cos ^2}(vec u,vec i) + {cos ^2}(vec u,vec j) + {cos ^2}(vec u,vec k)$ $ = frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 1.$

Gicửa ải bài 3 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên

a) $cos (vec u,vec v) = frac{{vec u.vec v}}{}$ $ = frac{{2 + 1 – 1}}{{sqrt {1 + 1 + 1} .sqrt {4 + 1 + 1} }}$ $ = frac{2}{{3sqrt 2 }} = frac{{sqrt 2 }}{3}.$
Vậy góc giữa $overrightarrow u $ và $overrightarrow v $ là 1 góc thuộc khoảng $left( {{0^0};{{180}^0}} right)$ có cosin bằng $frac{{sqrt 2 }}{3}.$
b) Vì $overrightarrow u = 3overrightarrow i + 4overrightarrow j $ nên $overrightarrow u = (3;4;0).$
Vì $overrightarrow v = – 2overrightarrow j + 3overrightarrow k $ nên $overrightarrow v = (0; – 2;3).$
Suy ra $cos (vec u,overrightarrow v ) = frac{{vec u.vec v}}{}$ $ = frac{{ – 8sqrt {13} }}{{65}}.$
Vậy góc giữa $overrightarrow u $ và $overrightarrow v $ là 1 góc thuộc khoảng $left( {{0^0},{{180}^0}} right)$ có cosin bằng $frac{{ – 8sqrt {13} }}{{65}}.$

Gicửa ải bài 4 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên

Để $overrightarrow p $ vuông góc với $overrightarrow q $ thì $overrightarrow p .overrightarrow q = 0.$
$ Leftrightarrow (kvec u + 17vec v)(3vec u – vec v) = 0$ $ Leftrightarrow 3k.{overrightarrow u ^2} – k.overrightarrow u .overrightarrow v + 51overrightarrow v .overrightarrow u – 17{overrightarrow v ^2} = 0.$
$ Leftrightarrow 12k + 5k – 255 – 17.25 = 0$ (vì $overrightarrow u .overrightarrow v = |overrightarrow u |.|overrightarrow v |.cos (overrightarrow u ,overrightarrow v ) = – 5$).
$ Leftrightarrow 17k = 680$ $ Leftrightarrow k = 40.$ Vậy $k = 40$ là trị giá cần tìm.

Gicửa ải bài 5 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên

a) Hình chiếu của $M$ lên $mp(Oxy)$ có tọa độ là: $(a; b; 0).$
Gần giống, hình chiếu của $M$ lên $mp(Oxz)$ và $mp(Oyz)$ tuần tự có tọa độ là: $(a; 0; c)$ và $(0; b; c).$
Hình chiếu của $M$ lên các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ tuần tự có tọa độ là: $(a; 0; 0)$, $(0; b; 0)$, $(0; 0; c).$

giai bai 5 trang 81 sgk giai tich 12 nang cao

b) Ta có $d(M,(Oxy)) = |c|$, $d(M,(Oxz)) = |b|$, $d(M,(Oyz)) = |a|.$
$d(M,Ox) = sqrt {{b^2} + {c^2}} $, $d(M,Oy) = sqrt {{a^2} + {c^2}} $, $dleft( {M,Oz} right) = sqrt {{a^2} + {b^2}} .$
c) Điểm đối xứng của $M = (a;b;c)$ qua các mặt phẳng $(Oxy)$, $(Oxz)$ và $(Oyz)$ tuần tự có tọa độ là: $(a;b; – c)$; $(a; – b;c)$ và $( – a;b;c).$

Gicửa ải bài 6 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên

Giả sử $M = (x;y;z)$, lúc đấy $overrightarrow {MA} = left( {{x_1} – x;{y_1} – y;{z_1} – z} right)$ và $koverrightarrow {MB} = left( {kleft( {{x_2} – x} right);kleft( {{y_2} – y} right);kleft( {{z_2} – z} right)} right).$
Để $overrightarrow {MA} = koverrightarrow {MB} $ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1} – x = kleft( {{x_2} – x} right)}
{{y_1} – y = kleft( {{y_2} – y} right)}
{{z_1} – z = kleft( {{z_2} – z} right)}
end{array}} right.$ $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = frac{{{x_1} – k{x_2}}}{{1 – k}}}
{y = frac{{{y_1} – k{y_2}}}{{1 – k}}}
{z = frac{{{z_1} – k{z_2}}}{{1 – k}}}
end{array}} right..$
Vậy $M = left( {frac{{{x_1} – k{x_2}}}{{1 – k}};frac{{{y_1} – k{y_2}}}{{1 – k}};frac{{{z_1} – k{z_2}}}{{1 – k}}} right)$ với $k ne 1.$

Gicửa ải bài 7 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên

Gọi $D = (x;y;z)$, để $ABCD$ là hình bình hành thì $overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} .$
Ta có $overrightarrow {AD} = (x + 3;y + 2;z)$, $overrightarrow {BC} = (2;3;1).$
Vậy $overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} $ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x + 3 = 2}
{y + 2 = 3}
{z = 1}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 1}
{y = 1}
{z = 1}
end{array}} right.$ hay $D = ( – 1;1;1).$
Khi đấy, ta có $overrightarrow {BD} = ( – 4;4;0)$ và $overrightarrow {AC} = (8;2;2).$
Suy ra $cos (overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD} ) = frac{{overrightarrow {AC} .overrightarrow {BD} }}{{|overrightarrow {AC} |.|overrightarrow {BD} |}}$ $ = frac{{ – 32 + 8}}{{sqrt {32} .sqrt {72} }}$ $ = frac{{ – 24}}{{48}} = – frac{1}{2}.$
Vậy $(overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD} ) = {120^0}.$

Gicửa ải bài 8 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên

a) Gọi $M = (a;0;0)$ thuộc $Ox$ thỏa mãn $MA = MB.$
Ta có $M{A^2} = {(1 – a)^2} + 4 + 9$ $ = {a^2} – 2a + 14$, $M{B^2} = {(3 + a)^2} + 9 + 4$ $ = {a^2} + 6a + 22.$
Để $MA = MB$ thì $M{A^2} = M{B^2}$ $ Leftrightarrow {a^2} – 2a + 14 = {a^2} + 6a + 22$ $ Leftrightarrow a = – 1.$
Vậy $M = ( – 1;0;0)$ là điểm cần tìm.
b) Ta có $overrightarrow {AB} = (2;sqrt 3 ;1)$, $overrightarrow {OC} = (sin 5t;cos 3t;sin 3t).$
Để $AB bot OC$ thì $overrightarrow {AB} .overrightarrow {OC} = 0$ $ Leftrightarrow 2sin 5t + sqrt 3 cos 3t + sin 3t = 0.$
$ Leftrightarrow sin 5t + frac{{sqrt 3 }}{2}cos 3t + frac{1}{2}sin 3t = 0$ $ Leftrightarrow sin 5t + sin left( {3t + frac{pi }{3}} right) = 0.$
$ Leftrightarrow 2sin left( {4t + frac{pi }{6}} right).cos left( {t – frac{pi }{6}} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}}
{sin left( {4t + frac{pi }{6}} right) = 0}
{cos left( {t – frac{pi }{6}} right) = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}}
{t = frac{{ – pi }}{{24}} + frac{{kpi }}{4}}
{t = frac{{2pi }}{3} + npi }
end{array}} right.$ với $k,n in Z.$
Vậy $t = – frac{pi }{{24}} + frac{{kpi }}{4}$ và $t = frac{{2pi }}{3} + npi $ với $k,n in Z$ là những giá trị cần tìm.

Giải bài 9 trang 81 sgk hình học 12 nâng cao

Để xét tính đồng phẳng của $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ và $overrightarrow w $ ta xét $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } right].overrightarrow w .$
Nếu $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } right].overrightarrow w = 0$ thì $overrightarrow u $, $overrightarrow v $, $overrightarrow w $ đồng phẳng.
a) Ta có $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } right]$ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{r}}
3&4
{ – 1}&2
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
4&4
2&2
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{r}}
4&3
2&{ – 1}
end{array}} right|} right)$ $ = (10;0; – 10).$
Nên $[overrightarrow u ,overrightarrow v ].overrightarrow w $ $ = 10.1 + 0.2 + ( – 10).1 = 0.$
Vậy $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ và $overrightarrow w $ đồng phẳng.
b) $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ và $overrightarrow w $ ko đồng phẳng.
c) $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ và $overrightarrow w $ đồng phẳng.

Gicửa ải bài 10 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên

a) Ta có $overrightarrow {AB} = ( – 1;0;1)$, $overrightarrow {AC} = (1;1;1)$, ta thấy $overrightarrow {AB} $ và $overrightarrow {AC} $ ko cùng phương nên $A$, $B$, $C$ ko thẳng hàng.
b) Gọi $D = (x;y;z)$, ta có $overrightarrow {AD} = (x – 1;y;z)$, $overrightarrow {BC} = (2;1;0).$ Để $ABCD$ là hình bình hành thì $overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} $, hay $left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x – 1 = 2}
{y = 1}
{z = 0}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3}
{y = 1}
{z = 0}
end{array}} right.$, vậy $D = (3;1;0).$
c) Chu vi $Delta ABC$ là: $P = AB + BC + AC$ $ = sqrt 2 + sqrt 5 + sqrt 3 .$
Diện tích $Delta ABC$ là: $S = frac{1}{2}left| {[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ]} right|.$
Ta có $left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right]$ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{l}}
0&1
1&1
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
1&{ – 1}
1&1
end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}}
{ – 1}&0
1&1
end{array}} right|} right)$ $ = ( – 1;2; – 1).$
Suy ra $S = frac{1}{2}sqrt {1 + 4 + 1} = frac{{sqrt 6 }}{2}$ (đơn vị diện tích).
d) Ta có ${S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}.AH.BC$ $ Rightarrow AH = frac{{2.{S_{Delta ABC}}}}{{BC}}$ $ = frac{{sqrt 6 }}{{sqrt 5 }} = frac{{sqrt {30} }}{5}.$
e) $cos A = cos (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} )$ $ = frac{{overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} }}{{|overrightarrow {AB} |.|overrightarrow {AC} |}} = 0$ $ Rightarrow A = {90^0}.$
$cos B = cos (overrightarrow {BA} ,overrightarrow {BC} )$ $ = frac{{overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC} }}{{|overrightarrow {BA} |.|overrightarrow {BC} |}}$ $ = frac{2}{{sqrt 2 .sqrt 5 }} = frac{{sqrt {10} }}{5}.$
$cos C = cos (overrightarrow {CA} ,overrightarrow {CB} )$ $ = frac{{overrightarrow {CA} .overrightarrow {CB} }}{{|overrightarrow {CA} |.|overrightarrow {CB} |}}$ $ = frac{3}{{sqrt 3 .sqrt 5 }} = frac{{sqrt {15} }}{5}.$

Gicửa ải bài 11 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên

a) Ta có $overrightarrow {AB} = ( – 1;1;0)$, $overrightarrow {AC} = ( – 1;0;1)$, $overrightarrow {AD} = ( – 3;1; – 2)$ nên ta có $[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ] = (1;1;1)$, suy ra $[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ].overrightarrow {AD} = – 4 ne 0.$
Vậy $A$, $B$, $C$, $D$ ko đồng phẳng, hay $A$, $B$, $C$, $D$ là 4 đỉnh của 1 tứ diện.
b) Ta có $cos (AB,CD)$ $ = |cos (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {CD} )|$ $ = frac{{|overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD} |}}{{|overrightarrow {AB} |.|overrightarrow {CD} |}}$ $ = frac{3}{{sqrt 2 .sqrt {14} }} = frac{{3sqrt 7 }}{{14}}.$
$cos (BC,AD)$ $ = |cos (overrightarrow {BC} ,overrightarrow {AD} )|$ $ = frac{{|overrightarrow {BC} .overrightarrow {AD} |}}{{|overrightarrow {BC} |.|overrightarrow {AD} |}}$ $ = frac{}{{sqrt 2 .sqrt {14} }} = frac{{3sqrt 7 }}{{14}}.$
$cos (AC,BD)$ $ = |cos (overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD} )|$ $ = frac{{|overrightarrow {AC} .overrightarrow {BD} |}}{{|overrightarrow {AC} |.|overrightarrow {BD} |}} = 0$ $ Rightarrow AC bot BD.$
Ta có: ${V_{ABCD}} = frac{1}{6}|[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ].overrightarrow {AD} |.$
Nhưng mà theo câu a, ta có $[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ].overrightarrow {AD} = – 4$, nên ${V_{ABCD}} = frac{1}{6}.4 = frac{2}{3}.$
Mặt khác ${V_{ABCD}} = frac{1}{3}.AH.{S_{Delta BCD}}$ $ Rightarrow AH = frac{{3.{V_{ABCD}}}}{{{S_{Delta BCD}}}} = frac{2}{{{S_{Delta BCD}}}}.$
Nhưng mà ${S_{Delta BCD}} = frac{1}{2}|[overrightarrow {BC} ,overrightarrow {BD} ]|$ $ = frac{1}{2}sqrt {4 + 4 + 4} = sqrt 3 $ (vì $[overrightarrow {BC} ,overrightarrow {BD} ] = (2; – 2; – 2)$).
Suy ra $AH = frac{2}{{sqrt 3 }} = frac{{2sqrt 3 }}{3}.$

Gicửa ải bài 12 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: Gốc tọa độ O trùng với A, Ox là tia AC, lúc đấy, ta có

giai bai 12 trang 82 sgk giai tich 12 nang cao

$A = (0;0;0)$, $B = (b;a;0)$, $C = (b;0;0)$, $S = (0;0;h)$ và $N = left( {frac{b}{3};frac{a}{3};frac{{2h}}{3}} right)$, $M = left( {frac{b}{2};0;0} right).$
Suy ra $overrightarrow {MN} = left( { – frac{b}{6};frac{a}{3};frac{{2h}}{3}} right).$
$overrightarrow {SB} = (b;a; – h).$
a) Ta có $MN = |overrightarrow {MN} |$ $ = sqrt {frac{{{b^2}}}{{36}} + frac{{{a^2}}}{9} + frac{{4{h^2}}}{9}} $ $ = frac{1}{6}sqrt {{b^2} + 4{a^2} + 16{h^2}} .$
b) Để $MN bot SB$ thì $overrightarrow {MN} .overrightarrow {SB} = 0.$
$ Leftrightarrow – frac{{{b^2}}}{6} + frac{{{a^2}}}{3} – frac{{2{h^2}}}{3} = 0$ $ Leftrightarrow 4{h^2} = 2{a^2} – {b^2}.$

Gicửa ải bài 13 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên

a) Ta có: ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x + 2y + 1 = 0.$
$ Leftrightarrow {(x – 4)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 16.$
Nên mặt cầu có tâm là $I(4; – 1;0)$ và bán kính $R = 4.$
b) Ta có: $3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2}$ $ + 6x – 3y + 15z – 2 = 0.$
$ Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – y + 5z – frac{2}{3} = 0.$
$ Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {left( {y – frac{1}{2}} right)^2} + {left( {z + frac{5}{2}} right)^2} = frac{{49}}{6}.$
Nên mặt cầu có tâm là $I = left( { – 1;frac{1}{2};frac{{ – 5}}{2}} right)$ và bán kính $R = frac{{7sqrt 6 }}{6}.$
c) Ta có: $9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} – 6x + 18y + 1 = 0.$
$ Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – frac{2}{3}x + 2y + frac{1}{9} = 0$ $ Leftrightarrow {left( {x – frac{1}{3}} right)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 1.$
Nên mặt cầu có tâm là $I = left( {frac{1}{3}; – 1;0} right)$ và bán kính $R = 1.$

Gicửa ải bài 14 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên

a) Vì tâm mặt cầu nằm trên $mp(Oyz)$ nên ta gọi tâm mặt cầu là $I = (0;b;c).$
Vì mặt cầu đi qua $A$, $B$, $C$ nên ta có hệ:
$left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{AI = BI}
{BI = CI}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{A{I^2} = B{I^2}}
{B{I^2} = C{I^2}}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{{{(b – 8)}^2} + {c^2} = 16 + {{(b – 6)}^2} + {{(c – 2)}^2}}
{16 + {{(b – 6)}^2} + {{(c – 2)}^2} = {{(b – 12)}^2} + {{(c – 4)}^2}}
end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{3b + c = 26}
{ – b + c = – 2}
end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}}
{b = 7}
{c = 5}
end{array}} right..$
Vậy phương trình mặt cầu là: ${x^2} + {(y – 7)^2} + {(z – 5)^2} = 26.$
b) Vì tâm mặt cầu nằm trên $Ox$ nên ta gọi tâm mặt cầu là $I(a;0;0).$ Vì mặt cầu xúc tiếp với $(Oyz)$ nên bán kính $R = d(I,(Oyz)) = |a|$, theo bài ra ta có $a = 2.$
Vậy phương trình mặt cầu là: ${(x – 2)^2} + {y^2} + {z^2} = 4.$
c) Vì mặt cầu xúc tiếp với mặt phẳng $(Oyz)$ và có tâm là $I = (1;2;3)$ nên ta có bán kính mặt cầu là: $R = d(I,(Oyz)) = 1.$

Vậy phương trình mặt cầu là: ${(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 3)^2} = 1.$

Chúc các em học tốt!


Thông tin thêm về Giải bài 1, 2, 8, 9, 14 trang 80 81 82 SGK Giải Tích 12 nâng cao

Cùng Du Học Mỹ Âu VN tiến hành việc giải các bài tập số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 và 14 trang 80, 81 82 trong chương 3 Phương pháp tọa độ trong ko gian, nội dung bài Hệ tọa độ trong ko gian, Hi vọng qua tài liệu, các em sẽ nắm được cách áp dụng vào làm các bài tập gần giống. Chúng mình sẽ san sớt các bước giải bài tập từ trang 80 đến trang 82 1 cách cụ thể nhất, trong công đoạn tham khảo cách làm, nếu có vấn đề gì chưa hiểu, các bạn hãy đặt câu hỏi ngay dưới bài viết để chúng ta cùng bàn bạc nha, không những thế, đừng quên san sớt để các bạn của mình biết được tài liệu hay này nha các bạn. Gicửa ải bài tập SGK Hình học 12 tăng lên: Hệ tọa độ trong ko gian. Gicửa ải bài 1 trang 80 sgk hình học 12 tăng lên a) Ta có $overrightarrow u = overrightarrow i – 2overrightarrow j $ nên $overrightarrow u = (1; – 2;0).$ $overrightarrow v = 3overrightarrow i + 5(overrightarrow j – overrightarrow k )$ $ = 3overrightarrow i + 5overrightarrow j – 5overrightarrow k $ nên $overrightarrow v = (3;5; – 5).$ $overrightarrow w = 2overrightarrow i – overrightarrow k + 3overrightarrow j $ $ = 2overrightarrow i + 3overrightarrow j – overrightarrow k $ nên $overrightarrow w = (2;3; – 1).$ b) Ta có $cos left( {overrightarrow v ,overrightarrow i } right) = frac{{overrightarrow v .overrightarrow i }}{overrightarrow v }.$ Nhưng mà $overrightarrow v = (3;5; – 5)$, $overrightarrow i = (1;0;0)$ nên $overrightarrow v .overrightarrow i = 3$, $|overrightarrow v | = sqrt {9 + 25 + 25} = sqrt {59} $, $|vec i| = 1.$ Suy ra $cos (overrightarrow v ,overrightarrow i ) = frac{3}{{sqrt {59} }}.$ Gần giống, ta có $cos (overrightarrow v ,overrightarrow j ) = frac{5}{{sqrt {59} }}$; $cos (overrightarrow v ,overrightarrow k ) = frac{{ – 5}}{{sqrt {59} }}.$ c) Theo câu a, ta có $overrightarrow u = (1; – 2;0)$; $overrightarrow v = (3;5; – 5)$; $overrightarrow w = (2;3; – 1)$ nên $overrightarrow u .overrightarrow v = – 7$; $overrightarrow u .overrightarrow w = – 4$; $overrightarrow v .overrightarrow w = 26.$ Gicửa ải bài 2 trang 80 sgk hình học 12 tăng lên Giả sử $overrightarrow u = (a;b;c)$, ta có: ${cos ^2}(vec u,vec i)$ $ = {left( {frac{{overrightarrow u .overrightarrow i }}{}} right)^2}$ $ = frac{{{a^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.$ Gần giống, ${cos ^2}(vec u,vec j) = frac{{{b^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$; ${cos ^2}(overrightarrow u ,overrightarrow k ) = frac{{{c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}.$ Suy ra: ${cos ^2}(vec u,vec i) + {cos ^2}(vec u,vec j) + {cos ^2}(vec u,vec k)$ $ = frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}} = 1.$ Gicửa ải bài 3 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên a) $cos (vec u,vec v) = frac{{vec u.vec v}}{}$ $ = frac{{2 + 1 – 1}}{{sqrt {1 + 1 + 1} .sqrt {4 + 1 + 1} }}$ $ = frac{2}{{3sqrt 2 }} = frac{{sqrt 2 }}{3}.$ Vậy góc giữa $overrightarrow u $ và $overrightarrow v $ là 1 góc thuộc khoảng $left( {{0^0};{{180}^0}} right)$ có cosin bằng $frac{{sqrt 2 }}{3}.$ b) Vì $overrightarrow u = 3overrightarrow i + 4overrightarrow j $ nên $overrightarrow u = (3;4;0).$ Vì $overrightarrow v = – 2overrightarrow j + 3overrightarrow k $ nên $overrightarrow v = (0; – 2;3).$ Suy ra $cos (vec u,overrightarrow v ) = frac{{vec u.vec v}}{}$ $ = frac{{ – 8sqrt {13} }}{{65}}.$ Vậy góc giữa $overrightarrow u $ và $overrightarrow v $ là 1 góc thuộc khoảng $left( {{0^0},{{180}^0}} right)$ có cosin bằng $frac{{ – 8sqrt {13} }}{{65}}.$ Gicửa ải bài 4 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên Để $overrightarrow p $ vuông góc với $overrightarrow q $ thì $overrightarrow p .overrightarrow q = 0.$ $ Leftrightarrow (kvec u + 17vec v)(3vec u – vec v) = 0$ $ Leftrightarrow 3k.{overrightarrow u ^2} – k.overrightarrow u .overrightarrow v + 51overrightarrow v .overrightarrow u – 17{overrightarrow v ^2} = 0.$ $ Leftrightarrow 12k + 5k – 255 – 17.25 = 0$ (vì $overrightarrow u .overrightarrow v = |overrightarrow u |.|overrightarrow v |.cos (overrightarrow u ,overrightarrow v ) = – 5$). $ Leftrightarrow 17k = 680$ $ Leftrightarrow k = 40.$ Vậy $k = 40$ là trị giá cần tìm. Gicửa ải bài 5 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên a) Hình chiếu của $M$ lên $mp(Oxy)$ có tọa độ là: $(a; b; 0).$ Gần giống, hình chiếu của $M$ lên $mp(Oxz)$ và $mp(Oyz)$ tuần tự có tọa độ là: $(a; 0; c)$ và $(0; b; c).$ Hình chiếu của $M$ lên các trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ tuần tự có tọa độ là: $(a; 0; 0)$, $(0; b; 0)$, $(0; 0; c).$ b) Ta có $d(M,(Oxy)) = |c|$, $d(M,(Oxz)) = |b|$, $d(M,(Oyz)) = |a|.$ $d(M,Ox) = sqrt {{b^2} + {c^2}} $, $d(M,Oy) = sqrt {{a^2} + {c^2}} $, $dleft( {M,Oz} right) = sqrt {{a^2} + {b^2}} .$ c) Điểm đối xứng của $M = (a;b;c)$ qua các mặt phẳng $(Oxy)$, $(Oxz)$ và $(Oyz)$ tuần tự có tọa độ là: $(a;b; – c)$; $(a; – b;c)$ và $( – a;b;c).$ Gicửa ải bài 6 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên Giả sử $M = (x;y;z)$, lúc đấy $overrightarrow {MA} = left( {{x_1} – x;{y_1} – y;{z_1} – z} right)$ và $koverrightarrow {MB} = left( {kleft( {{x_2} – x} right);kleft( {{y_2} – y} right);kleft( {{z_2} – z} right)} right).$ Để $overrightarrow {MA} = koverrightarrow {MB} $ thì $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{x_1} – x = kleft( {{x_2} – x} right)} {{y_1} – y = kleft( {{y_2} – y} right)} {{z_1} – z = kleft( {{z_2} – z} right)} end{array}} right.$ $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x = frac{{{x_1} – k{x_2}}}{{1 – k}}} {y = frac{{{y_1} – k{y_2}}}{{1 – k}}} {z = frac{{{z_1} – k{z_2}}}{{1 – k}}} end{array}} right..$ Vậy $M = left( {frac{{{x_1} – k{x_2}}}{{1 – k}};frac{{{y_1} – k{y_2}}}{{1 – k}};frac{{{z_1} – k{z_2}}}{{1 – k}}} right)$ với $k ne 1.$ Gicửa ải bài 7 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên Gọi $D = (x;y;z)$, để $ABCD$ là hình bình hành thì $overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} .$ Ta có $overrightarrow {AD} = (x + 3;y + 2;z)$, $overrightarrow {BC} = (2;3;1).$ Vậy $overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} $ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x + 3 = 2} {y + 2 = 3} {z = 1} end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x = – 1} {y = 1} {z = 1} end{array}} right.$ hay $D = ( – 1;1;1).$ Khi đấy, ta có $overrightarrow {BD} = ( – 4;4;0)$ và $overrightarrow {AC} = (8;2;2).$ Suy ra $cos (overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD} ) = frac{{overrightarrow {AC} .overrightarrow {BD} }}{{|overrightarrow {AC} |.|overrightarrow {BD} |}}$ $ = frac{{ – 32 + 8}}{{sqrt {32} .sqrt {72} }}$ $ = frac{{ – 24}}{{48}} = – frac{1}{2}.$ Vậy $(overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD} ) = {120^0}.$ Gicửa ải bài 8 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên a) Gọi $M = (a;0;0)$ thuộc $Ox$ thỏa mãn $MA = MB.$ Ta có $M{A^2} = {(1 – a)^2} + 4 + 9$ $ = {a^2} – 2a + 14$, $M{B^2} = {(3 + a)^2} + 9 + 4$ $ = {a^2} + 6a + 22.$ Để $MA = MB$ thì $M{A^2} = M{B^2}$ $ Leftrightarrow {a^2} – 2a + 14 = {a^2} + 6a + 22$ $ Leftrightarrow a = – 1.$ Vậy $M = ( – 1;0;0)$ là điểm cần tìm. b) Ta có $overrightarrow {AB} = (2;sqrt 3 ;1)$, $overrightarrow {OC} = (sin 5t;cos 3t;sin 3t).$ Để $AB bot OC$ thì $overrightarrow {AB} .overrightarrow {OC} = 0$ $ Leftrightarrow 2sin 5t + sqrt 3 cos 3t + sin 3t = 0.$ $ Leftrightarrow sin 5t + frac{{sqrt 3 }}{2}cos 3t + frac{1}{2}sin 3t = 0$ $ Leftrightarrow sin 5t + sin left( {3t + frac{pi }{3}} right) = 0.$ $ Leftrightarrow 2sin left( {4t + frac{pi }{6}} right).cos left( {t – frac{pi }{6}} right) = 0$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{c}} {sin left( {4t + frac{pi }{6}} right) = 0} {cos left( {t – frac{pi }{6}} right) = 0} end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}} {t = frac{{ – pi }}{{24}} + frac{{kpi }}{4}} {t = frac{{2pi }}{3} + npi } end{array}} right.$ với $k,n in Z.$ Vậy $t = – frac{pi }{{24}} + frac{{kpi }}{4}$ và $t = frac{{2pi }}{3} + npi $ với $k,n in Z$ là những giá trị cần tìm. Giải bài 9 trang 81 sgk hình học 12 nâng cao Để xét tính đồng phẳng của $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ và $overrightarrow w $ ta xét $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } right].overrightarrow w .$ Nếu $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } right].overrightarrow w = 0$ thì $overrightarrow u $, $overrightarrow v $, $overrightarrow w $ đồng phẳng. a) Ta có $left[ {overrightarrow u ,overrightarrow v } right]$ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{r}} 3&4 { – 1}&2 end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} 4&4 2&2 end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{r}} 4&3 2&{ – 1} end{array}} right|} right)$ $ = (10;0; – 10).$ Nên $[overrightarrow u ,overrightarrow v ].overrightarrow w $ $ = 10.1 + 0.2 + ( – 10).1 = 0.$ Vậy $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ và $overrightarrow w $ đồng phẳng. b) $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ và $overrightarrow w $ ko đồng phẳng. c) $overrightarrow u $, $overrightarrow v $ và $overrightarrow w $ đồng phẳng. Gicửa ải bài 10 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên a) Ta có $overrightarrow {AB} = ( – 1;0;1)$, $overrightarrow {AC} = (1;1;1)$, ta thấy $overrightarrow {AB} $ và $overrightarrow {AC} $ ko cùng phương nên $A$, $B$, $C$ ko thẳng hàng. b) Gọi $D = (x;y;z)$, ta có $overrightarrow {AD} = (x – 1;y;z)$, $overrightarrow {BC} = (2;1;0).$ Để $ABCD$ là hình bình hành thì $overrightarrow {AD} = overrightarrow {BC} $, hay $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x – 1 = 2} {y = 1} {z = 0} end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x = 3} {y = 1} {z = 0} end{array}} right.$, vậy $D = (3;1;0).$ c) Chu vi $Delta ABC$ là: $P = AB + BC + AC$ $ = sqrt 2 + sqrt 5 + sqrt 3 .$ Diện tích $Delta ABC$ là: $S = frac{1}{2}left| {[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ]} right|.$ Ta có $left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } right]$ $ = left( {left| {begin{array}{*{20}{l}} 0&1 1&1 end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} 1&{ – 1} 1&1 end{array}} right|;left| {begin{array}{*{20}{c}} { – 1}&0 1&1 end{array}} right|} right)$ $ = ( – 1;2; – 1).$ Suy ra $S = frac{1}{2}sqrt {1 + 4 + 1} = frac{{sqrt 6 }}{2}$ (đơn vị diện tích). d) Ta có ${S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}.AH.BC$ $ Rightarrow AH = frac{{2.{S_{Delta ABC}}}}{{BC}}$ $ = frac{{sqrt 6 }}{{sqrt 5 }} = frac{{sqrt {30} }}{5}.$ e) $cos A = cos (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} )$ $ = frac{{overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} }}{{|overrightarrow {AB} |.|overrightarrow {AC} |}} = 0$ $ Rightarrow A = {90^0}.$ $cos B = cos (overrightarrow {BA} ,overrightarrow {BC} )$ $ = frac{{overrightarrow {BA} .overrightarrow {BC} }}{{|overrightarrow {BA} |.|overrightarrow {BC} |}}$ $ = frac{2}{{sqrt 2 .sqrt 5 }} = frac{{sqrt {10} }}{5}.$ $cos C = cos (overrightarrow {CA} ,overrightarrow {CB} )$ $ = frac{{overrightarrow {CA} .overrightarrow {CB} }}{{|overrightarrow {CA} |.|overrightarrow {CB} |}}$ $ = frac{3}{{sqrt 3 .sqrt 5 }} = frac{{sqrt {15} }}{5}.$ Gicửa ải bài 11 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên a) Ta có $overrightarrow {AB} = ( – 1;1;0)$, $overrightarrow {AC} = ( – 1;0;1)$, $overrightarrow {AD} = ( – 3;1; – 2)$ nên ta có $[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ] = (1;1;1)$, suy ra $[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ].overrightarrow {AD} = – 4 ne 0.$ Vậy $A$, $B$, $C$, $D$ ko đồng phẳng, hay $A$, $B$, $C$, $D$ là 4 đỉnh của 1 tứ diện. b) Ta có $cos (AB,CD)$ $ = |cos (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {CD} )|$ $ = frac{{|overrightarrow {AB} .overrightarrow {CD} |}}{{|overrightarrow {AB} |.|overrightarrow {CD} |}}$ $ = frac{3}{{sqrt 2 .sqrt {14} }} = frac{{3sqrt 7 }}{{14}}.$ $cos (BC,AD)$ $ = |cos (overrightarrow {BC} ,overrightarrow {AD} )|$ $ = frac{{|overrightarrow {BC} .overrightarrow {AD} |}}{{|overrightarrow {BC} |.|overrightarrow {AD} |}}$ $ = frac{}{{sqrt 2 .sqrt {14} }} = frac{{3sqrt 7 }}{{14}}.$ $cos (AC,BD)$ $ = |cos (overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD} )|$ $ = frac{{|overrightarrow {AC} .overrightarrow {BD} |}}{{|overrightarrow {AC} |.|overrightarrow {BD} |}} = 0$ $ Rightarrow AC bot BD.$ Ta có: ${V_{ABCD}} = frac{1}{6}|[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ].overrightarrow {AD} |.$ Nhưng mà theo câu a, ta có $[overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ].overrightarrow {AD} = – 4$, nên ${V_{ABCD}} = frac{1}{6}.4 = frac{2}{3}.$ Mặt khác ${V_{ABCD}} = frac{1}{3}.AH.{S_{Delta BCD}}$ $ Rightarrow AH = frac{{3.{V_{ABCD}}}}{{{S_{Delta BCD}}}} = frac{2}{{{S_{Delta BCD}}}}.$ Nhưng mà ${S_{Delta BCD}} = frac{1}{2}|[overrightarrow {BC} ,overrightarrow {BD} ]|$ $ = frac{1}{2}sqrt {4 + 4 + 4} = sqrt 3 $ (vì $[overrightarrow {BC} ,overrightarrow {BD} ] = (2; – 2; – 2)$). Suy ra $AH = frac{2}{{sqrt 3 }} = frac{{2sqrt 3 }}{3}.$ Gicửa ải bài 12 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: Gốc tọa độ O trùng với A, Ox là tia AC, lúc đấy, ta có $A = (0;0;0)$, $B = (b;a;0)$, $C = (b;0;0)$, $S = (0;0;h)$ và $N = left( {frac{b}{3};frac{a}{3};frac{{2h}}{3}} right)$, $M = left( {frac{b}{2};0;0} right).$ Suy ra $overrightarrow {MN} = left( { – frac{b}{6};frac{a}{3};frac{{2h}}{3}} right).$ $overrightarrow {SB} = (b;a; – h).$ a) Ta có $MN = |overrightarrow {MN} |$ $ = sqrt {frac{{{b^2}}}{{36}} + frac{{{a^2}}}{9} + frac{{4{h^2}}}{9}} $ $ = frac{1}{6}sqrt {{b^2} + 4{a^2} + 16{h^2}} .$ b) Để $MN bot SB$ thì $overrightarrow {MN} .overrightarrow {SB} = 0.$ $ Leftrightarrow – frac{{{b^2}}}{6} + frac{{{a^2}}}{3} – frac{{2{h^2}}}{3} = 0$ $ Leftrightarrow 4{h^2} = 2{a^2} – {b^2}.$ Gicửa ải bài 13 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên a) Ta có: ${x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x + 2y + 1 = 0.$ $ Leftrightarrow {(x – 4)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 16.$ Nên mặt cầu có tâm là $I(4; – 1;0)$ và bán kính $R = 4.$ b) Ta có: $3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2}$ $ + 6x – 3y + 15z – 2 = 0.$ $ Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – y + 5z – frac{2}{3} = 0.$ $ Leftrightarrow {(x + 1)^2} + {left( {y – frac{1}{2}} right)^2} + {left( {z + frac{5}{2}} right)^2} = frac{{49}}{6}.$ Nên mặt cầu có tâm là $I = left( { – 1;frac{1}{2};frac{{ – 5}}{2}} right)$ và bán kính $R = frac{{7sqrt 6 }}{6}.$ c) Ta có: $9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} – 6x + 18y + 1 = 0.$ $ Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – frac{2}{3}x + 2y + frac{1}{9} = 0$ $ Leftrightarrow {left( {x – frac{1}{3}} right)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 1.$ Nên mặt cầu có tâm là $I = left( {frac{1}{3}; – 1;0} right)$ và bán kính $R = 1.$ Gicửa ải bài 14 trang 81 sgk hình học 12 tăng lên a) Vì tâm mặt cầu nằm trên $mp(Oyz)$ nên ta gọi tâm mặt cầu là $I = (0;b;c).$ Vì mặt cầu đi qua $A$, $B$, $C$ nên ta có hệ: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {AI = BI} {BI = CI} end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {A{I^2} = B{I^2}} {B{I^2} = C{I^2}} end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {{{(b – 8)}^2} + {c^2} = 16 + {{(b – 6)}^2} + {{(c – 2)}^2}} {16 + {{(b – 6)}^2} + {{(c – 2)}^2} = {{(b – 12)}^2} + {{(c – 4)}^2}} end{array}} right..$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {3b + c = 26} { – b + c = – 2} end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {b = 7} {c = 5} end{array}} right..$ Vậy phương trình mặt cầu là: ${x^2} + {(y – 7)^2} + {(z – 5)^2} = 26.$ b) Vì tâm mặt cầu nằm trên $Ox$ nên ta gọi tâm mặt cầu là $I(a;0;0).$ Vì mặt cầu xúc tiếp với $(Oyz)$ nên bán kính $R = d(I,(Oyz)) = |a|$, theo bài ra ta có $a = 2.$ Vậy phương trình mặt cầu là: ${(x – 2)^2} + {y^2} + {z^2} = 4.$ c) Vì mặt cầu xúc tiếp với mặt phẳng $(Oyz)$ và có tâm là $I = (1;2;3)$ nên ta có bán kính mặt cầu là: $R = d(I,(Oyz)) = 1.$ Vậy phương trình mặt cầu là: ${(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z – 3)^2} = 1.$ Chúc các em học tốt! TagsGicửa ải Toán 12

[rule_2_plain] [rule_3_plain]

#Gicửa ải #bài #trang #SGK #Gicửa ải #Tích #nâng #cao


  • Du Học Mỹ Âu
  • #Gicửa ải #bài #trang #SGK #Gicửa ải #Tích #nâng #cao

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.

Back to top button